Đề bài

Hai tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\)  cắt nhau tại \(A.\) Biết  \(OB = 3cm;\,OA = 5cm.\)

Câu 1

Chọn khẳng định sai ?

A.

\(AC = AB = 4cm\)        

B.

\(\widehat {BAO} = \widehat {CAO}\)

C.

\(\sin \widehat {OBA} = \dfrac{4}{5}\)

D.

\(\sin \widehat {COA} = \dfrac{3}{5}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Sử dụng định lý Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét \(\left( O \right)\) có \(AB,AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A\) nên \(AB = AC;\,\widehat {CAO} = \widehat {BAO};\widehat {BOA} = \widehat {COA}\)

Xét \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có \(OB = 3cm;\,OA = 5cm\), theo định lý Pytago ta có \(AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\,cm\)

Nên \(AC = AB = 4cm\) hay đáp án A đúng.

Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(\sin \widehat {ABO} = \dfrac{{AB}}{{OA}} = \dfrac{4}{5}\)  nên C đúng. Mà \(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\)  nên \(\sin \widehat {COA} = \dfrac{4}{5}\) do đó D sai.

---

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Vẽ đường kính \(CD\) của \(\left( O \right).\) Tính \(BD.\)

A.

\(BD = 2\,cm\)

B.

\(BD\, = 4\,cm\)

C.

\(BD = 1,8\,cm\)

D.

\(BD = 3,6\,cm\)

Đáp án : D

Phương pháp giải

Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(H\) là giao của \(BC\) với \(AO\).

Xét \(\left( O \right)\) có hai tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AB = AC\) (tính chất)

Lại có \(OB = OC\) nên \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\) hay \(AO \bot BC\) tại \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Xét tam giác \(BCD\) có \(H\) là trung điểm \(BC\) và \(O\) là trung điểm \(DC\) nên là đường trung bình của tam giác \(BCD\) 

Suy ra \(BD = 2.OH\)

Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(B{O^2} = OH.OA \Leftrightarrow OH = \dfrac{{O{B^2}}}{{OA}} = \dfrac{9}{5} = 1,8\,cm\)

Từ đó \(BD = 2.OH = 2.1,8 = 3,6\,cm\)

---