Đề bài

Cho hình vuông $ABCD.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ . Gọi $E$ là giao điểm của $CM$ và $DN$ .  So sánh $AE$ và $DM.$

• A. $AM = \dfrac{3}{2}AE$
• B. $DM < AE$
• C. $DM = AE$
• D. $DM > AE$

Phương pháp giải

Bước 1: Đưa các điểm đã cho về các đỉnh của tam giác vuông.

Bước 2: Tìm đường tròn đi qua bốn đỉnh $A,D,E,M$.

Bước 3: Sử dụng liên hệ giữa dây và đường kính.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+) Ta có $\widehat {CDN} = \widehat {ECN}$ (vì cùng phụ với $\widehat {CNE}$) nên $\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {CEN} = 90^\circ  \Rightarrow CM \bot DN$

+) Gọi $I$ là trung điểm của $DM$.

Xét tam giác vuông $ADM$ ta có $AI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}$. Xét tam giác vuông $DEM$ ta có $EI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}$

Nên $EI = ID = IM = IA = \dfrac{{DM}}{2}$

Do đó bốn điểm $A,D,E,M$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $R = \dfrac{{DM}}{2}$.

Xét $\left( {I;\dfrac{{DM}}{2}} \right)$ có $DM$ là đường kính  và $AE$ là dây không đi qua tâm nên $DM > AE$.

Đáp án : D