Đề bài

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) , dây \(MN\) khác đường kính.  Qua \(O\) kẻ đường vuông góc với \(MN\) , cắt tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn ở điểm \(P\) .

Câu 1

Chọn khẳng định đúng?

A.

\(PN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(P\)

B.

\(\Delta MOP = \Delta PON\)          

C.

\(PN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(N\)

D.

\(\widehat {ONP} = 80^\circ \)

Đáp án : C

Phương pháp giải

Sử dụng  cách chứng minh tiếp tuyến

Để chứng minh đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại tiếp điểm là \(M\) ta chứng minh \(OM \bot d\) tại \(M\) và \(M \in \left( O \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(OP\)

Ta có: \(OP \bot MN\) tại \(I\) \( \Rightarrow \) \(I\) là trung điểm của MN.

\( \Rightarrow \)\(PI\) là đường cao đồng thời là trung tuyến của \(\Delta MNP\).

\( \Rightarrow \)\(\Delta MNP\) cân tại \(P\).

\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {MPO} = \widehat {NPO}\\PM = PN\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \Delta PMO = \Delta PNO\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {PMO} = \widehat {PNO} = 90^\circ  \Rightarrow ON \bot NP\)

\( \Rightarrow \)\(PN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)

---

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Cho bán kính của đường tròn bằng \(10\,cm\); \(MN = 12cm\). Tính \(OP.\)

A.

\(OP = 12,5\,cm\)

B.

\(OP = 17,5\,cm\)

C.

\(OP = 25\,cm\)

D.

\(OP = 15\,cm\)

Đáp án : A

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(OP\)

Ta có: \(OP \bot MN\) tại \(I\) \( \Rightarrow \) \(I\) là trung điểm của MN.

Nên \(IM = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\,cm\)

Xét tam giác vuông \(OMI\) có \(OI = \sqrt {O{M^2} - M{I^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\,cm\)

Xét tam giác vuông \(MPO\), theo hệ thức lượng trong tam giác vuôg ta có \(M{O^2} = OI.OP \Rightarrow OP = \dfrac{{M{O^2}}}{{OI}} = \dfrac{{{{10}^2}}}{8} = 12,5\,cm\)

Vậy \(OP = 12,5\,cm\).

---