Đề bài

Cho tam giác nhọn $ABC$ hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$. Biết $HD:HA = 3:2$. Khi đó $\tan \widehat {ABC}.\tan \widehat {ACB}$ bằng

• A. $3$
• B. $5$
• C. $\dfrac{3}{5}$
• D. $\dfrac{5}{3}$

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn và tam giác đồng dạng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét tam giác vuông $ABD$ và $ADC$, ta có: $\tan B = \dfrac{{AD}}{{BD}};tanC = \dfrac{{AD}}{{CD}}$.

Suy ra $\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}$   (1)

Lại có $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$) và $\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = {90^0}$.

Do đó $\Delta BDH \sim \Delta ADC$ (g.g), suy ra $\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}$, do đó $BD.DC = DH.AD$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}$  (3).

Theo giả thiết $\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{3}{2}$ suy ra $\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{3}{{2 + 3}}$ hay $\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{3}{5}$, suy ra $AD = \dfrac{5}{3}HD$.

Thay vào (3) ta được: $\tan B.\tan C = \dfrac{{\dfrac{5}{3}HD}}{{DH}} = \dfrac{5}{3}.$

Đáp án : D