Đề bài

Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 3:2\). Khi đó \(\tan \widehat {ABC}.\tan \widehat {ACB}\) bằng

• A. $3$
• B. $5$
• C. \(\dfrac{3}{5}\)
• D. \(\dfrac{5}{3}\)

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn và tam giác đồng dạng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét tam giác vuông \(ABD\) và \(ADC\), ta có: \(\tan B = \dfrac{{AD}}{{BD}};tanC = \dfrac{{AD}}{{CD}}\).

Suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}\)   (1)

Lại có \(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)) và \(\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = {90^0}\).

Do đó \(\Delta BDH \sim \Delta ADC\) (g.g), suy ra \(\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(BD.DC = DH.AD\)  (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}\)  (3).

Theo giả thiết \(\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{3}{2}\) suy ra \(\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{3}{{2 + 3}}\) hay \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{3}{5}\), suy ra \(AD = \dfrac{5}{3}HD\).

Thay vào (3) ta được: \(\tan B.\tan C = \dfrac{{\dfrac{5}{3}HD}}{{DH}} = \dfrac{5}{3}.\)

Đáp án : D