Đề bài

Cho \(\alpha \) là góc nhọn bất kỳ. Khi đó \(C={\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \) bằng

• A. \(C = 1 - 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \)
• B. $C=1$
• C. \(C = {\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \)
• D. \(C = 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha  - 1\)

Phương pháp giải

Biến đổi để sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\) và \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \({\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha  = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .1\)

\( = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\)  (vì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\))

\( = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^3} + 3{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2}.{\cos ^2}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^3}\)

\( = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} = 1\) (vì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1)\)

Đáp án : B