Đề bài

Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.

• A. \(2\)     
• B. \(1\)     
• C. \(0\)     
• D. \(3\)     

Phương pháp giải

Ta đánh giá giá trị của \(A\) sau đó chọn ra các giá trị nguyên \(A\) có thể đạt được, từ đó tìm \(x.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(A = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\left( {2\sqrt x  + 4} \right) - 5}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} = 2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}}\)

Ta có: \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \) hay \(\sqrt x  + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} > 0\)

suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} < 2\) hay \(A < 2\)  (1)

Lại có: \(\sqrt x  + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} \le \dfrac{5}{2}\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} \ge 2 - \dfrac{5}{2} \) hay \( A \ge  - \dfrac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \( - \dfrac{1}{2} \le A < 2\) mà \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \left\{ {0;1} \right\}\)

+ Với \(A = 0 \) hay \( \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = 0 \)

\(\Rightarrow 2\sqrt x  - 1 = 0 \\ \sqrt x  = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)\)

+ Với \(A = 1 \) hay \(\dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 \)

\(\Rightarrow 2\sqrt x  - 1 = \sqrt x  + 2 \\ \sqrt x  = 3 \\ x = 9\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(x = \dfrac{1}{4};x = 9\) thì \(A\) đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án : A