Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\)
Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.
Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.
\(x = 1;x = 36\)
\(x = 16\)
\(x = 4;x = 6\)
\(x = 16; x = 36\)
Đáp án : D
Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Đưa P về dạng \(P = a + \dfrac{m}{{\sqrt x - 3}}\left( {a;m \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\a + \dfrac{m}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)
Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} > - 1\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\\dfrac{{3 + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x - 3} \right) \in Ư\left( 3 \right)(1)\\\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} > 0\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)
Từ (1) suy ra
\( \begin{array}{l}\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\ \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 3\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Nhận thấy với \(x=16;x=36\) vẫn thỏa mãn (2).
Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì P nguyên dương.
Rút gọn P.
Rút gọn P.
\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
\(P = \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
\(P = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
Đáp án : A
- Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.
- Quy đồng mẫu thức các phân thức.
- Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 1 - x - 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\)
Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
-
A.
$\dfrac{9}{2}$
-
B.
$\dfrac{9}{4}$
-
C.
$9$
-
D.
$18$
Bài 2 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
-
A.
$4$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$1$
Bài 3 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
-
A.
$4 + 3\sqrt 2 $
-
B.
$4 - 3\sqrt 2 $
-
C.
$3$
-
D.
$3\sqrt 2 $
Bài 4 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
-
A.
$P > 4$
-
B.
$P < 4$
-
C.
$P = 4$
-
D.
$P \le 4$
Bài 5 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Bài 6 :
Giá trị của biểu thức \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} \) là
-
A.
$\dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}$
-
B.
$\dfrac{{\sqrt {3a} }}{{15}}$
-
C.
$\dfrac{{23\sqrt a }}{{15}}$
-
D.
$\dfrac{{3\sqrt {3a} }}{{15}}$
Bài 7 :
Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được
-
A.
$\dfrac{{\sqrt a }}{2}$
-
B.
$\dfrac{{\sqrt b }}{2}$
-
C.
$\dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$
-
D.
$a\sqrt b $
Bài 8 :
Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được
-
A.
$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
-
B.
$12$
-
C.
$6$
-
D.
$36$
Bài 9 :
Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Bài 10 :
Cho biểu thức
$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Bài 11 :
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$
với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.
Bài 12 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\). Giá trị của \(P\) khi \(x = 4\) là:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(-2\)
-
D.
\(\dfrac{2}{3}\)
Bài 13 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\). Giá trị của \(P\) khi \(x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }}\) là:
-
A.
\(5 + \sqrt 5 \)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}\)
-
D.
\(\sqrt 5 \)
Bài 14 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\) . Giá trị của \(P\) khi \(x\) thỏa mãn phương trình \({x^2} - 5x + 4 = 0\).
-
A.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\sqrt 2 \)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
Không tồn tại giá trị \(P.\)
Bài 15 :
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(2\).
-
A.
\(A > 2\)
-
B.
\(A < 2\)
-
C.
\(A = 2\)
-
D.
\(A \ge 2\)
Bài 16 :
Cho biểu thức \(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(1\).
-
A.
\(B > 1\)
-
B.
\(B < 1\)
-
C.
\(B = 1\)
-
D.
\(B \le 1\)
Bài 17 :
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\). Tìm các giá trị của \(x\) biết \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}\) .
-
A.
\(x = 0;x = 5\)
-
B.
\(x = 0\)
-
C.
\(x = 0;x = 25\)
-
D.
\(x = 5;x = 1\)
Bài 18 :
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 6\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} + 5\sqrt {\dfrac{{4a}}{{25}}} \) với \(a > 0,\) ta được kết quả là:
-
A.
\(12\sqrt a \)
-
B.
\(8\sqrt a \)
-
C.
\(6\sqrt a \)
-
D.
\(10\sqrt a \)
Bài 19 :
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\)
Bài 20 :
Cho biểu thức \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1\)
Bài 21 :
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 22 :
Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \) với \(a,b > 0\) ta được:
-
A.
\(a + b\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt b }}{2}\)
-
D.
\(2\sqrt b \)
Bài 23 :
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\sqrt {\dfrac{{121}}{{{a^4}{b^{10}}}}} \) với \(ab \ne 0\) ta được:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\left| {{b^5}} \right|}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{{b^5}}}\)
-
C.
\({b^5}\)
-
D.
\(\dfrac{{11}}{{{b^5}}}\)
Bài 24 :
Với \(y < 0 < x\), so sánh \(A = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{{\sqrt {{x^2}{y^3}} }}{{\sqrt {{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\) và \(0.\)
-
A.
\(A < 0\)
-
B.
\(A > 0\)
-
C.
\(A \ge 0\)
-
D.
Đáp án khác
Bài 25 :
Với \(a,b > 0\), biểu thức \(3a{b^2}.\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^4}}}} \) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{ - 3{b^2}}}{a}\)
-
B.
\(\dfrac{{3{b^2}}}{a}\)
-
C.
\(\dfrac{{3{b^3}}}{a}\)
-
D.
\(\dfrac{{ - 3{b^3}}}{a}\)
Bài 26 :
Cho \(Q = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\). Tìm \(x\) để \(Q = 3\)
-
A.
\(x = \pm 1\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 1\)
-
D.
Kết quả khác
Bài 27 :
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(Q = \dfrac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}}\) tại \(x = 2020 - 2\sqrt {2019} \)
-
A.
\(Q = 2\sqrt x + 1\,\,\,;\,\,\,2\sqrt {2019} - 1\)
-
B.
\(Q = 2\sqrt x - 1\,\,\,;\,\,\,2\sqrt {2019} - 3\)
-
C.
\(Q = \sqrt x - 2\,\,\,;\,\,\,\sqrt {2019} - 3\)
-
D.
\(Q = \sqrt x + 2\,\,\,;\,\,\,\sqrt {2019} + 1\)
Bài 28 :
Cho các biểu thức : \(P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(P.\) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P \ge \dfrac{1}{5}\).
-
A.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 4\)
-
B.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 2\)
-
C.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 2\)
-
D.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 4\)
Bài 29 :
Cho căn thức \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .\)
a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x.
b) Rút gọn căn thức đã cho với \(x \ge 2.\)
c) Chứng tỏ rằng với mọi \(x \ge 2,\) biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \) có giá trị không đổi.
Bài 30 :
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} ;\)
b) \(\frac{{5\sqrt {48} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }};\)
c) \(\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2 - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}.\)
