Đề bài

Cho biểu thức $C = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}$ với $x > 0;x \ne 1$

Câu 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của $C.$

$C = 1$

$C = \sqrt 2 $

$C = 2$

$C = 2\sqrt 2 $

Đáp án : D

Phương pháp giải

- Sử dụng kết quả câu trước $C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0;x \ne 1$

- Chia tử cho mẫu, sau đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $a,b$ không âm $a + b \ge 2\sqrt {ab} $

Dấu “=” xảy ra khi $a = b.$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Theo câu trước ta có: $C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0;x \ne 1$

Xét $C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \dfrac{2}{{\sqrt x }}$

Với $x > 0,x \ne 1$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt x $ và $\dfrac{2}{{\sqrt x }}$ ta được:

$\begin{array}{l}\sqrt x + \dfrac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{2}{{\sqrt x }}} \\ \sqrt x + \dfrac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt 2 \\ C \ge 2\sqrt 2 \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \dfrac{2}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 2\left( {tm} \right)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $C$ là $2\sqrt 2$ khi $ x = 2.$

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Rút gọn biểu thức $C$ ta được:

$C = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt x }}$

$C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}$

$C = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$

$C = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + 2}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải

- Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.

- Quy đồng mẫu thức các phân thức.

- Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $C = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}$

$\begin{array}{l} = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right)\\ = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right)\\ = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy $C = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0; x \ne 1$

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}$. Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là

A.

$\dfrac{9}{2}$
B.

$\dfrac{9}{4}$
C.

$9$
D.

$18$

Cho biểu thức \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C.\)

Rút gọn biểu thức \(C\) ta được:

Bài 9 : Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Bài 10 : Cho biểu thức $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Bài 11 : Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.

Bài 19 : Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\)

Bài 20 : Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\)

Bài 9 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Bài 10 :

Cho biểu thức

$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Bài 11 :

Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$

với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.

Bài 19 :

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\)

Bài 20 :

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\)