Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\)
Rút gọn biểu thức \(P\) ta được:
Rút gọn biểu thức \(P\) ta được:
\(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\)
\(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x + 3}}\)
\(P = \dfrac{x}{{\sqrt x - 3}}\)
\(P = \dfrac{{ - 4x}}{{\sqrt x - 3}}\)
Đáp án : A
- Xác định mẫu thức chung
- Quy đồng mẫu thức các phân thức
- Cộng trừ các phân thức đã quy đồng
Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1 - 2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{8\sqrt x + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\end{array}\)
Vậy \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
Tìm \(x\) để \(P = - 1\)
Tìm \(x\) để \(P = - 1\)
\(x = \dfrac{9}{{16}}\)
\(x = \dfrac{9}{{16}};x = - 1\)
\(x = \dfrac{3}{4};x = - 1\)
\(x = \dfrac{3}{4}\)
Đáp án : A
- Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\left( {x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9} \right)\)
- Biến đổi để đưa về phương trình tích rồi xét các trường hợp
- So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm
Với điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\) . Ta có: P = -1
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} = - 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x - 3\sqrt x - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {4\sqrt x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 1\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{{16}}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = \dfrac{9}{{16}}\) thì \(P = - 1.\)
Học sinh khi giải bất phương trình thường quên kết hợp điều kiện ban đầu dẫn đến sai nghiệm.
Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: \(m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\)
Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: \(m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\)
\(m = \dfrac{5}{{18}}\)
\(m > - \dfrac{5}{{18}}\)
\(m < \dfrac{5}{{18}}\)
\(m > \dfrac{5}{{18}}\)
Đáp án : D
Thay \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) vào biểu thức \(m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1\)
Biến đổi rồi đưa \(m\) về 1 vế để đánh giá vế còn lại.
\(\forall x > 9:m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x - 3} \right).\dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} > x + 1 \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \dfrac{{x + 1}}{{4x}}\)
Ta có: với mọi giá trị x > 9 thì x + 1 > 9 + 1 = 10
4x > 4.9 = 36
Vậy \(m > \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
-
A.
$\dfrac{9}{2}$
-
B.
$\dfrac{9}{4}$
-
C.
$9$
-
D.
$18$
Bài 2 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
-
A.
$4$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$1$
Bài 3 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
-
A.
$4 + 3\sqrt 2 $
-
B.
$4 - 3\sqrt 2 $
-
C.
$3$
-
D.
$3\sqrt 2 $
Bài 4 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
-
A.
$P > 4$
-
B.
$P < 4$
-
C.
$P = 4$
-
D.
$P \le 4$
Bài 5 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Bài 6 :
Giá trị của biểu thức \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} \) là
-
A.
$\dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}$
-
B.
$\dfrac{{\sqrt {3a} }}{{15}}$
-
C.
$\dfrac{{23\sqrt a }}{{15}}$
-
D.
$\dfrac{{3\sqrt {3a} }}{{15}}$
Bài 7 :
Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được
-
A.
$\dfrac{{\sqrt a }}{2}$
-
B.
$\dfrac{{\sqrt b }}{2}$
-
C.
$\dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$
-
D.
$a\sqrt b $
Bài 8 :
Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được
-
A.
$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
-
B.
$12$
-
C.
$6$
-
D.
$36$
Bài 9 :
Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Bài 10 :
Cho biểu thức
$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Bài 11 :
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$
với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.
Bài 12 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\). Giá trị của \(P\) khi \(x = 4\) là:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(-2\)
-
D.
\(\dfrac{2}{3}\)
Bài 13 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\). Giá trị của \(P\) khi \(x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }}\) là:
-
A.
\(5 + \sqrt 5 \)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}\)
-
D.
\(\sqrt 5 \)
Bài 14 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\) . Giá trị của \(P\) khi \(x\) thỏa mãn phương trình \({x^2} - 5x + 4 = 0\).
-
A.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\sqrt 2 \)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
Không tồn tại giá trị \(P.\)
Bài 15 :
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(2\).
-
A.
\(A > 2\)
-
B.
\(A < 2\)
-
C.
\(A = 2\)
-
D.
\(A \ge 2\)
Bài 16 :
Cho biểu thức \(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(1\).
-
A.
\(B > 1\)
-
B.
\(B < 1\)
-
C.
\(B = 1\)
-
D.
\(B \le 1\)
Bài 17 :
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\). Tìm các giá trị của \(x\) biết \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{2}\) .
-
A.
\(x = 0;x = 5\)
-
B.
\(x = 0\)
-
C.
\(x = 0;x = 25\)
-
D.
\(x = 5;x = 1\)
Bài 18 :
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 6\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} + 5\sqrt {\dfrac{{4a}}{{25}}} \) với \(a > 0,\) ta được kết quả là:
-
A.
\(12\sqrt a \)
-
B.
\(8\sqrt a \)
-
C.
\(6\sqrt a \)
-
D.
\(10\sqrt a \)
Bài 19 :
Cho biểu thức \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1\)
Bài 20 :
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\)
Bài 21 :
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 22 :
Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \) với \(a,b > 0\) ta được:
-
A.
\(a + b\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt b }}{2}\)
-
D.
\(2\sqrt b \)
Bài 23 :
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\sqrt {\dfrac{{121}}{{{a^4}{b^{10}}}}} \) với \(ab \ne 0\) ta được:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\left| {{b^5}} \right|}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{{b^5}}}\)
-
C.
\({b^5}\)
-
D.
\(\dfrac{{11}}{{{b^5}}}\)
Bài 24 :
Với \(y < 0 < x\), so sánh \(A = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{{\sqrt {{x^2}{y^3}} }}{{\sqrt {{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\) và \(0.\)
-
A.
\(A < 0\)
-
B.
\(A > 0\)
-
C.
\(A \ge 0\)
-
D.
Đáp án khác
Bài 25 :
Với \(a,b > 0\), biểu thức \(3a{b^2}.\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^4}}}} \) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{ - 3{b^2}}}{a}\)
-
B.
\(\dfrac{{3{b^2}}}{a}\)
-
C.
\(\dfrac{{3{b^3}}}{a}\)
-
D.
\(\dfrac{{ - 3{b^3}}}{a}\)
Bài 26 :
Cho \(Q = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\). Tìm \(x\) để \(Q = 3\)
-
A.
\(x = \pm 1\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 1\)
-
D.
Kết quả khác
Bài 27 :
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(Q = \dfrac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}}\) tại \(x = 2020 - 2\sqrt {2019} \)
-
A.
\(Q = 2\sqrt x + 1\,\,\,;\,\,\,2\sqrt {2019} - 1\)
-
B.
\(Q = 2\sqrt x - 1\,\,\,;\,\,\,2\sqrt {2019} - 3\)
-
C.
\(Q = \sqrt x - 2\,\,\,;\,\,\,\sqrt {2019} - 3\)
-
D.
\(Q = \sqrt x + 2\,\,\,;\,\,\,\sqrt {2019} + 1\)
Bài 28 :
Cho các biểu thức : \(P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(P.\) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P \ge \dfrac{1}{5}\).
-
A.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 4\)
-
B.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 2\)
-
C.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 2\)
-
D.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 4\)
Bài 29 :
Cho căn thức \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .\)
a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x.
b) Rút gọn căn thức đã cho với \(x \ge 2.\)
c) Chứng tỏ rằng với mọi \(x \ge 2,\) biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \) có giá trị không đổi.
Bài 30 :
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} ;\)
b) \(\frac{{5\sqrt {48} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }};\)
c) \(\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2 - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}.\)
