Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}$.

• A. $13$
• B. $11$
• C. $10$
• D. $12$

Phương pháp giải

Xác định số điểm mà đạo hàm đổi dấu của hàm số $y = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $y = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}} \Rightarrow y' = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}.f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right).f'\left( x \right)\ln 2019$

$f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) - 1 =  - 1\\f\left( x \right) - 1 = 1\\f\left( x \right) - 1 = 3\\f\left( x \right) - 1 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\\f\left( x \right) = 4\\f\left( x \right) = 7\end{array} \right.$

$f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0$ có tất cả: $2 + 5 + 2 + 1 = 10$ nghiệm

(trong đó, có các nghiệm $x = 3,\,\,x = 6$ là nghiệm kép, còn lại là nghiệm đơn).

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\\x = 3\\x = 6\end{array} \right.$ : có 4 nghiệm

$\Rightarrow y' = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}.f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right).f'\left( x \right) = 0$ có 12 nghiệm phân biệt, trong đó, $x = 3,\,\,x = 6$ là nghiệm bội 3, còn lại là nghiệm đơn.

Do đó, số điểm cực trị của hàm số $y = {2019^{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}$ là 12.

Đáp án : D