Đề bài

Rút gọn biểu thức \(\sqrt {4{a^2} + 12a + 9}  + \sqrt {4{a^2} - 12a + 9} \) với \( - \dfrac{3}{2} \le a \le \dfrac{3}{2}\) ta được:

• A. \( - 4a\)
• B. \(4a\)
• C. \( - 6\)
• D. \(6\)

Phương pháp giải

- Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) và \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\).

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

- Phá dấu giá trị tuyệt đối \(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.\) (dựa vào điều kiện đề bài).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\sqrt {4{a^2} + 12a + 9}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2.3.2a + {3^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}  = \left| {2a + 3} \right|\)

Ta có: \(\sqrt {4{a^2} - 12a + 9}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - 2.3.2a + {3^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}  = \left| {2a - 3} \right|\)

Mà: \( - \dfrac{3}{2} \le a \le \dfrac{3}{2} \Rightarrow  - 3 \le 2a \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3 \ge 0 \Rightarrow \left| {2a + 3} \right| = 2a + 3\\2a - 3 \le 0 \Rightarrow \left| {2a - 3} \right| = 3 - 2a\end{array} \right.\)

Hay: \(\sqrt {4{a^2} + 12a + 9}  = 2a + 3\) và \(\sqrt {4{a^2} - 12a + 9}  = 3 - 2a\) với \( - \dfrac{3}{2} \le a \le \dfrac{3}{2}\)

Khi đó: \(\sqrt {4{a^2} + 12a + 9}  + \sqrt {4{a^2} - 12a + 9}  = 2a + 3 + 3 - 2a = 6\).

Đáp án : D