Đề bài

Tính giá trị biểu thức \(\sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } \).

• A. \(2\sqrt 3 \)
• B. \(8 + 2\sqrt 3 \)
• C. \(6\)
• D. \(8\)

Phương pháp giải

- Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) và \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\).

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

- Phá dấu giá trị tuyệt đối \(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {4 + \sqrt 3 } \right| = 4 + \sqrt 3 \)

Và \(\sqrt {19 - 8\sqrt 3 }  = \sqrt {{4^2} - 2.4.\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {4 - \sqrt 3 } \right| = 4 - \sqrt 3 \) (vì \(4 = \sqrt {16}  > \sqrt 3  \Rightarrow 4 - \sqrt 3  > 0\))

Nên \(\sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } \)\( = 4 + \sqrt 3  + 4 - \sqrt 3  = 8\)

Đáp án : D