Cho \(P = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\). Có bao nhiêu giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}\).
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(4\)
Sử dụng: với \(P = \dfrac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\) thì \(P \in \mathbb{Z} \) khi \( a\, \vdots \,b\)
TH1: \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) là số vô tỉ hay \(P\) là số vô tỉ (loại).
TH2: \(\sqrt x \) là số nguyên.
Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt x - 2 + 5}}{{\sqrt x - 2}} \)\(= \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}}\)
Vì \(1 \in \mathbb{Z}\) nên để \(P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt x - 2}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\dfrac{5}{{\sqrt x - 2}} \in \mathbb{Z}\) hay
\(5 \,\vdots \,\left( {\sqrt x - 2} \right) \\\left( {\sqrt x - 2} \right) \in Ư\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}\)
+) \(\sqrt x - 2 = 1 \)
\( \sqrt x = 3 \\x = 9\left( {tm} \right)\)
+) \(\sqrt x - 2 = - 1 \)
\( \sqrt x = 1 \\ x = 1\left( {tm} \right)\)
+) \(\sqrt x - 2 = 5 \)
\( \sqrt x = 7 \\ x = 49\left( {tm} \right)\)
+) \(\sqrt x - 2 = - 5 \)
\( \sqrt x = - 3\) (vô nghiệm vì \(\sqrt x \ge 0\) với mọi \( x \ge 0\))
Vậy có ba giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện là \(x = 1;x = 9;x = 49\).
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \) là:
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \) với \(a > 0\) ta được
Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Chọn khẳng định đúng?
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$.
Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
Cho \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};\)\(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\). Chọn câu đúng.
Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)
Rút gọn biểu thức: \(T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\)
