Đề bài

Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\) ta được:

• A. \(A = 3\)
• B. \(A = \sqrt 3 \)
• C. \(A = 6\)
• D. \(A = 27\)

Phương pháp giải

- Lập phương hai vế rồi sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)

- Tách hạng tử để xuất hiện nhân tử chung, đưa về phương trình tích để tìm \(A.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(A = \sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\)

Suy ra: \({A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} \)\(= {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + 3\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 9 + 4\sqrt 5  + 9 - 4\sqrt 5  + 3.\sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}.A\)  (vì \(A = \sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\))

\( = 18 + 3\sqrt[3]{{{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}}}.A\)\( = 18 + 3A\)

Hay \({A^3} = 3A + 18 \Leftrightarrow {A^3} - 3A - 18 = 0 \)\(\Leftrightarrow {A^3} - 27 - 3A + 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {A - 3} \right)\left( {{A^2} + 3A + 9} \right) - 3\left( {A - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {A - 3} \right)\left( {{A^2} + 3A + 6} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A - 3 = 0\\{A^2} + 3A + 6 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 3\\{\left( {A + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4} = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(A = 3.\)

Đáp án : A