Đề bài

Cho hai phương trình ${x^2} - 13x + 2m = 0$ (1) và ${x^2} - 4x + m = 0$ (2). Xác định $m$ để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi $1$  nghiệm phương trình (2).

• A. $- 45$
• B. $- 5$
• C. $0$ và $- 5$
• D. Đáp án khác

Phương pháp giải

Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi nghiệm phương trình (2) là ${x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)$ thì nghiệm phương trình (1) là $2{x_0}$.

Vì ${2x_0}$ là nghiệm của phương trình (1) nên ${(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0$ (*)

Vì ${x_0}$ là nghiệm của phương trình (2) nên ${x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0$. Nhân cả hai vế của phương trình với 4, ta được: $4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0$ (**)

Từ (*) và (**) ta có:

${(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m$

$-10x_0 - 2m = 0$

suy ra ${x_0} =  - \dfrac{m}{5}$

Do ${x_0} \ne 0$ nên $m \ne 0$.

Thay ${x_0} =  - \dfrac{m}{5}$ vào phương trình (2) ta được:

${\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0$

$\dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0$

$\dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0$

$\dfrac{m}{5}. \left( \dfrac{m}{5} + 9 \right) = 0$

Do đó $m = 0$ hoặc $m =  - 45$

Kết hợp $m \ne 0$ ta được $m =  - 45$

Đáp án : A