Đề bài

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình \(m{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có nghiệm.

• A. \(m \ne 0\)
• B. \(m < 0\)
• C. \(m > 0\)
• D. \(m \in \mathbb{R}\)

Phương pháp giải

Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta'\), với \(\Delta' \ge 0\) thì phương trình có nghiệm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình \(m{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có \(\left( {a = m;b = 2\left( {m + 1} \right);c = 1} \right)\)

TH1: Với $m = 0$ ta có phương trình $2x + 1 = 0$ suy ra $x =  - \dfrac{1}{2}$ 

Do đó với $m = 0$ thì phương trình có nghiệm. (1)

TH2: Với $m \ne 0, b' = m + 1$

Biệt thức \(\Delta'  = {\left( {m + 1} \right)^2} - m.1 \)\(= {m^2} + m + 1 = {m^2} + m + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \) \(= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Phương trình đã cho có nghiệm khi $\Delta' \ge 0$ hay ${\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0$ suy ra ${\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge - \frac{3}{4}$ (luôn đúng với mọi \(m\)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Đáp án : D