Đề bài

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$, dây cung $AB = R\sqrt 2 $. Vẽ đường kính $CD \bot AB$ ($C$ thuộc cung lớn $AB$). Trên cung $AC$ nhỏ  lấy điểm $M$, vẽ dây $AN{\rm{//}}CM$. Độ dài đoạn $MN$ là

• A. $MN = R\sqrt 3 $
• B. $MN = R\sqrt 2 $
• C. $MN = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)R$
• D. $MN = R\sqrt {2 + \sqrt 2 } $

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Sử dụng mối liên hệ giữa dây và đường kính

Sử dụng định lý Pytago

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì hai dây $MC{\rm{//}}AN$ nên hai cung $AM$ và cung $CN$ bằng nhau, hay $AM = CN$

Suy ra $MCNA$ là hình thang cân $ \Rightarrow MN = AC$.

Gọi $H$ là giao của $CD$ và $AB$. Khi đó vì $AB \bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow AH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác vuông $AHO$, theo định lý Pytago ta có $OH = \sqrt {A{O^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$

$ \Rightarrow CH = R + \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}R$

Theo định lý Pytago cho tam giác $ACH$ vuông ta có $AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}{R^2} + \dfrac{{2{R^2}}}{4}}  = \sqrt {\dfrac{{8 + 4\sqrt 2 }}{4}{R^2}}  = \sqrt {2 + \sqrt 2 } .R$

Vậy $MN = R\sqrt {2 + \sqrt 2 } $.

Đáp án : D