Đề bài

Bát giác đều ABCDEFGH nội tiếp đường tròn bán kính bằng 1. Tính độ dài cạnh AB của bát giác.

• A. $2 - \sqrt 2 $
• B. $2 + \sqrt 2 $
• C. $\sqrt {2 - \sqrt 2 } $  
• D. Đáp án khác

Phương pháp giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp bát giác đều

Vẽ BH ⊥ AO tại H

Tính BH, OH, AH

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AB^2 = AH.AE$ để tính AB

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì ABCDEFGH là bát giác đều nên góc AOB bằng \(\dfrac{{360^\circ }}{8} = 45^\circ \) và AE là đường kính của đường tròn (O) ngoại tiếp bát giác.

Vẽ BH ⊥ AO tại H thì tam giác BHO vuông cân tại H (vì có góc BOH bằng \(45^0\).

Theo định lý Pytago ta có \(B{H^2} + O{H^2} = O{B^2}\)\( \Leftrightarrow 2B{H^2} = O{B^2} \)\(\Leftrightarrow BH = \dfrac{{OB}}{{\sqrt 2 }}\)

Suy ra

$\begin{array}{l}BH = OH = \dfrac{{OB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\AH = AO - OH = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\AE = 2AO = 2\end{array}$

Vì AE là đường kính của (O) nên ∆ ABE vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{B^2} = AH.AE = \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).2 = 2 - \sqrt 2 $

$ \Rightarrow AB = \sqrt {2 - \sqrt 2 } $

Đáp án : C