Đề bài

Gọi r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của một tam giác đều. Tỉ số $\dfrac{r}{R}$ bằng: 

• A. $\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$              
• B. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$              
• C. $\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
• D. $\dfrac{1}{2}$

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính tỉ số cần thiết

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giả sử tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại H thì \(IH \bot BC\)

Vì ABC là tam giác đều nên I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC suy ra \( IH\) là trung trực BC

Do đó \(H\)  là trung điểm BC

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên BI là phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{IBH} = \dfrac{{\widehat{ ABC}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ $

Xét tam giác \(IHB\) ta có:

$\dfrac{r}{R} = \dfrac{{IH}}{{IB}} = \sin \widehat{ IBH} = \sin 30^\circ  = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : D