Đề bài

Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một hình vuông. Tỉ số $\dfrac{R}{r}$ là:

• A. $\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
• B. $2$
• C. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
• D. đáp án khác

Phương pháp giải

Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp hình vuông là cạnh huyền và cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân, từ đó suy ra tỉ lệ

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giả sử hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O)

Suy ra O cũng là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông

Gọi H là trung điểm AB thì \(OH \bot AB\) tại H

Ta có R = OA, r = OH

Vì AO là phân giác của góc BAD nên

$\widehat {HAO} = \dfrac{{\widehat {BAD}}}{2} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ $

Xét tam giác AHO vuông tại H có:

$ \sin \widehat {HAO} = \dfrac{{OH}}{{OA}}$

$ \dfrac{{OH}}{{OA}} = \sin {45^0} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} $

$\dfrac{{OA}}{{OH}} = \sqrt 2 $ hay \(\dfrac{R}{r} = \sqrt 2 .\)

Đáp án : D