Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = $ $3\sqrt 3 $$cm$ . Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Tính diện tích hình viên phân$BC$ . (Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy)
-
A.
$\dfrac{{18\pi - 27\sqrt 3 }}{{16}}\left( {c{m^2}} \right)$
-
B.
$\dfrac{{18\pi - 9\sqrt 3 }}{{16}}\left( {c{m^2}} \right)$
-
C.
$\dfrac{{2\pi - 3\sqrt 3 }}{{16}}\left( {c{m^2}} \right)$
-
D.
$\dfrac{{18\pi - 27\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)$
Áp dụng công thức tính diện tích hình viên phân.
\({S_{viên\,phân\,BC}} = {S_{quạt\,\,BOC}} - {S_\Delta }_{BOC}\)
Xét đường tròn (O) có:
\(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(\widehat {CAB} = 90^\circ - \widehat {CBA} = 30^\circ \) (tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\))
\(\widehat {ACB}\) và \(\widehat {BOC}\) là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $AC$ \( \Rightarrow \widehat {BOC} = 2.\widehat {ACB} = {2.30^0} = {60^0}\)\( \Rightarrow {S_{quạt\,\,AOC}} = \dfrac{{\pi {R^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{6}\)
Xét \(\Delta BOC\) có \(\widehat {BOC} = {60^\circ }\) và $\;OA = OC = R$ nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .
Gọi $CH$ là đường cao của tam giác $AOC$ , ta có:
\(CH = CO.\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R\)\( \Rightarrow {S_{AOC}} = \dfrac{1}{2}CH.OA = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R.R \)\(= \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{R^2}.\)
Diện tích hình viên phân $BC$ là:
${S_{quạt\,\,BOC}} - {S_{\Delta {\rm B}OC}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{6} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{R^2} $$= \left( {\dfrac{\pi }{6} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).{R^2} $$= \left( {\dfrac{{2\pi - 3\sqrt 3 }}{{12}}} \right).{\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} $$= \dfrac{{18\pi - 27\sqrt 3 }}{{16}}\left( {c{m^2}} \right)$.
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Diện tích hình tròn bán kính \(R = 10\,cm\) là
Một hình tròn có diện tích \(S = 144\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) . Bán kính của hình tròn đó là:
Cho đường tròn $\left( {O,10\,cm} \right)$, đường kính $AB.$. Điểm \(M \in (O)\) sao cho \(\widehat {BAM} = {45^0}\). Tính diện tích hình quạt $AOM$ .
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = $ \(4\sqrt 3 \) $cm$ .
Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\). Tính diện tích hình viên phân$AC$ . (Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).
Cho hình vuông có cạnh là $5\,cm$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Hãy tính diện tích hình tròn $\left( O \right)$.
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính \(AB = 2\sqrt 2 \;cm\). Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\). Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ .
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $M$ sao cho $OM = 2R$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn $(A,B$ là các tiếp điểm ). Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến $AM,MB$ và cung nhỏ $AB.$
Một hình quạt có chu vi bằng \(28\,(cm)\) và diện tích bằng \(49\,(c{m^2})\). Bán kính của hình quạt bằng?
Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Độ dài của các cung \(AB,BC,CA\) đều bằng \(4\pi \). Diện tích của tam giác đều \(ABC\) là:
