Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính bằng \(a.\) Biết rằng \(AC \bot BD.\) Khi đó để \(AB + CD\) đạt giá trị lớn nhất thì
\(AC = AB\)
\(AC = BD\)
\(DB = AB\)
Không có đáp án nào đúng
Vẽ đường kính \(CE\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh \(AB = DE\) rồi đánh giá \({\left( {AB + CD} \right)^2}\) đạt GTLN dựa vào bđt Cô-si, từ đó suy ra điều kiện thỏa mãn bài toán.
Vẽ đường kính \(CE\) của đường tròn \(\left( O \right).\)
Ta có \(\widehat {EAC} = {90^0},\,\widehat {EDC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn đường kính \(EC\) ).
Từ đó ta có \(AE \bot AC.\) Mặt khác theo giả thiết \(AC \bot BD.\)
Kéo theo \(AE//BD.\) Vậy \(AEDB\) là hình thang.
Do hình thang \(AEDB\) nội tiếp \(\left( O \right)\) nên nói phải là hình thang cân.
Kéo theo \(AB = DE\) (các cạnh bên hình thang cân).
Từ đó ta có \(A{B^2} + C{D^2} = D{E^2} + D{C^2} = E{C^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\) (do \(\Delta EDC\) vuông tại \(D).\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( {A{B^2},B{D^2}} \right)\) ta có $A{B^2} + B{D^2} \ge 2AB.CD $$\Rightarrow 2\left( {A{B^2} + B{D^2}} \right) \ge A{B^2} + B{D^2} + 2AB.CD $$= {\left( {AB + CD} \right)^2}.$
Kéo theo \({\left( {AB + CD} \right)^2} \le 2\left( {4{a^2}} \right) = 8{a^2}\)\( \Rightarrow AB + CD \le 2\sqrt 2 a.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(AB = CD.\)
Xét tam giác \(\Delta ABI,\,\,\Delta DCI\) có \(AB = CD,\) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD),\) \(\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC).\)
Do đó \(\Delta ABI = \Delta DCI\left( {g.c.g}. \right)\) Kéo theo \(AI = ID,\,IB = IC.\) Suy ra \(AC = AI + IC = ID + IB = BD.\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) (hình \(1\) ). Chọn khẳng định sai?
Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?
Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(BC.\) Lấy điểm \(A\) trên tia đối của tia \(CB.\) Kẻ tiếp tuyến $AF,Bx$ của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(F\) là tiếp điểm). Tia \(AF\) cắt tia \(Bx\) của nửa đường tròn tại \(D.\) Khi đó tứ giác \(OBDF\) là:
Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $M$ và $\widehat {BAD} = {70^0}$ thì $\widehat {BCM} = ?$
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ . Gọi $H$ là điểm nằm giữa $O$ và $B$. Kẻ dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $H$ . Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $E$ kẻ $CK$ vuông góc $AE$ tại $K$ . Đường thẳng $DE$ cắt $CK$ tại $F$. Chọn câu đúng:
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {120^0}.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), lấy \(D\) sao cho \(BCD\) là tam giác đều. Khi đó
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ . $M$ là điểm thuộc cung nhỏ $AC$ (cung \(CM < \) cung \(AM\)). Vẽ $MH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ , vẽ $MI$ vuông góc với $AC$ tại $I$ . Chọn câu đúng:
Cho \(\Delta ABC\) vuông ở $A$ . Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ và vẽ đường tròn đường kính $MC$ . Kẻ $BM$ cắt đường tròn tại $D$ . Đường thẳng $DA$ cắt đường tròn tại $S$ . Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$. Gọi $I$ là trung điểm của $OA$ . Dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $I$. Lấy $K$ tùy ý trên cung $BC$ nhỏ, $AK$ cắt $CD$ tại $H$. Khẳng định nào đúng ?
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và điểm $D$ nằm giữa $A$ và $B$ . Đường tròn đường kính $BD$ cắt $BC$ tại $E$. Các đường thẳng $CD$ , $AE$ lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là $F$ và $G$. Khi đó, kết luận không đúng là:
Cho nửa $(O)$ đường kính $AB.$ Lấy $M \in OA(M \ne O,A).$ Qua $M$ vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $AB.$ Trên $d$ lấy $N$ sao cho $ON > R.$ Nối $NB$ cắt $(O)$ tại $C.$ Kẻ tiếp tuyến $NE$ với $(O)$ ($E$ là tiếp điểm, $E$ và $A$ cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ $d$). Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $d$, $F$ là giao điểm của $EH$ và đường tròn $(O)$. Chọn khẳng định sai?
Cho nửa đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(AB = 2R.\) Đường thẳng qua \(O\) và vuông góc \(AB\) cắt cung \(AB\) tại \(C.\) Gọi \(E\) là trung điểm \(BC.\,\,AE\) cắt nửa đường tròn \(O\) tại \(F.\) Đường thẳng qua \(C\) và vuông góc $AF$ tại \(G\) cắt \(AB\) tại $H.$ Khi đó góc \(\widehat {OGH}\) có số đo là:
Cho hình vẽ. Khi đó đáp án đúng là
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và $\widehat A = \partial \;\;\left( {0 < \partial < {{90}^0}} \right)$. Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AC vẽ tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Số đo góc $\widehat {BDM}$ là:
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt M và N. Chọn câu sai:
Cho tam giác \(ABC\) không cân, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,BD\) là đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}.\) Đường thẳng \(BD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E.\) Đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) đường kính \(DE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F.\) Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(BF\) qua đường thẳng \(BD\) cắt \(AC\) tại \(N\) thì: