Đề bài

Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) các đường cao \(AD,\,BE,\,CF\,\left( {D \in BC,\,E \in AC,\,F \in AB} \right)\) cắt nhau tại \(H\). Khi đó ta có

• A. \(BH.BE = BC.BD\)    
• B. \(CH.CF = CD.CB\) 
• C. \(A,B\) đều đúng        
• D. \(A,B\) đều sai

Phương pháp giải

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

- Chứng minh tam giác đồng dạng suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Do \(AD,\,BE\) là các đường cao nên \(\widehat {HDC} = \widehat {HEC} = {90^0}\).

Tam giác HDC vuông tại D (\(\widehat {HDC} = {90^0}\)) và tam giác HEC vuông (\(\widehat {HEC} = {90^0}\)) nên tam giác HDC và tam giác HEC nội tiếp đường tròn đường kính HC suy ra H, D, E, C thuộc đường tròn đường kính HC.

Vậy tứ giác \(DCEH\) là tứ giác nội tiếp.

Các góc \(\widehat {HED},\,\widehat {HCD}\) cùng chắn cung \(HD\) nên \(\widehat {HED} = \,\widehat {HCD}\,\,\left( 1 \right).\)

Xét hai tam giác \(\Delta BDE\) và \(\Delta BHC\) có \(\widehat {HED} = \,\widehat {HCD}\,\) (theo \(\left( 1 \right)\) ) và góc \(\widehat {EBC}\) chung.

Do đó \(\Delta BDE \backsim \,\Delta BHC\) (g.g)

Suy ra \(\dfrac{{BD}}{{BH}} = \dfrac{{BE}}{{BC}}\) nên \(BH.BE = BC.BD.\) Vậy A đúng.

Chứng minh tương tự ta có \(CH.CF = CD.CB.\) Vậy B đúng.

Đáp án : C