Đề bài

Hai bạn $A$ và $B$ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $8$ ngày. Hỏi nếu $A$ làm riêng hết $\dfrac{1}{3}$ công việc rồi nghỉ thì $B$ hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu ? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì  $A$ làm nhanh hơn B là $12$ ngày.

• A. $16$ ngày
• B. $18$ ngày
• C. $10$ ngày
• D. $12$ ngày

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi thời gian $A,B$ làm một mình xong công việc lần lượt là $x,y$ ($y > x > 0;y > 12$ , đơn vị : ngày).

Mỗi ngày các bạn $A,B$ lần lượt làm được $\dfrac{1}{x}$và $\dfrac{1}{y}$(công việc ).

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $8$ ngày nên ta có : 

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{8}$   (1)

Do làm một mình xong công việc thì $A$ làm nhanh hơn $B$ là $12$  ngày nên ta có phương trình :

$y - x = 12$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{8}\\y - x = 12\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}y = x + 12\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 12}} = \dfrac{1}{8}\left( * \right)\end{array} \right.$

Giải (*) : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 12}} = \dfrac{1}{8}$

$\dfrac{{8\left( {x + 12} \right) + 8x}}{{8x\left( {x + 12} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x + 12} \right)}}{{8x\left( {x + 12} \right)}}$

Suy ra $16x + 96 = {x^2} + 12x$

${x^2} - 4x - 96 = 0 \\ {x^2} + 8x - 12x - 96 = 0 \\ x\left( {x + 8} \right) - 12\left( {x + 8} \right) = 0\\ \left( {x - 12} \right)\left( {x + 8} \right) = 0$

$x = 12\left( N \right)$ hoặc $x =  - 8\left( L \right)$

Với $x = 12$ thì $y = x + 12 = 24.$

Vậy $B$ hoàn thành cả công việc trong $24$ ngày.

Suy ra sau khi $A$ làm một mình xong $\dfrac{1}{3}$  công việc rồi nghỉ$,B$ hoàn thành $\dfrac{2}{3}$ công việc còn lại trong $\dfrac{2}{3}.24 = 16$ ngày.

Đáp án : A