Đề bài

Gọi $\left( {x;y} \right)$ là  nghiệm nguyên dương  nhỏ nhất của phương trình $6x - 7y = 5$ .

Tính $x - y.$

• A. $2$
• B. $3$
• C. $1$
• D. $-1$

Phương pháp giải

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$
Bước 4:  Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \(t\), ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \(t\)
-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(6x - 7y = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{{7y + 5}}{6} \Leftrightarrow x = y + \dfrac{{y + 5}}{6}\)

Đặt \(\dfrac{{y + 5}}{6} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 6t - 5 \Rightarrow x = y + \dfrac{{y + 5}}{6} = 6t - 5 + t = 7t - 5\)

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 7t - 5\\y = 6t - 5\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên dương nên $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t - 5 > 0\\6t - 5 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > \dfrac{5}{7}\\t > \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow t > \dfrac{5}{7}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \ge 1$.

Do đó, nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình có được khi \(t = 1  \) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7.1 - 5\\y = 6.1 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow x - y =  1$.

Đáp án : C