Đề bài

Nghiệm nguyên âm  của phương trình $3x + 4y =  - 10$ là \(\left( {x;y} \right).\) Tính \(x.y.\)

• A. $2$
• B. $ - 2$
• C. $6$
• D. $4$

Phương pháp giải :

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ${\rm{ax}} + by = c$, ta làm như sau:

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$
Bước 4:  Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \(t\), ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \(t\)
-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên

Dựa vào điều kiện nghiệm nguyên âm để tìm \(\left( {x;y} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(3x + 4y =  - 10 \Leftrightarrow 3x =  - 4y - 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 4y - 10}}{3} \Leftrightarrow x =  - y - \dfrac{{y + 10}}{3}\)

Đặt \(\dfrac{{y + 10}}{3} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 3t - 10 \Rightarrow x =  - \left( {3t - 10} \right) - t =  - 4t + 10\)

Hay nghiệm nguyên của phương trình $3x + 4y =  - 10$ là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4t + 10\\y = 3t - 10\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì \(x;y\) nguyên âm hay \(x < 0;y < 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 4t + 10 < 0\\3t - 10 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > 2,25\\t < \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\) mà \(t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t = 3\)

Suy ra \(x =  - 4.3 + 10 =  - 2;y = 3.3 - 10 =  - 1\) nên nghiệm nguyên âm cần tìm là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow x.y = 2\)

Đáp án : A