Đề bài

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {1;\;2} \right)\), \(B\left( {4;\; - 2} \right)\), \(C\left( { - 3;\;5} \right)\). Một véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc \(A\) là

• A. \(\overrightarrow u  = \left( {2;\;1} \right)\).
• B. \(\overrightarrow u  = \left( {1;\; - 1} \right)\).
• C. \(\overrightarrow u  = \left( {1;\;1} \right)\).
• D. \(\overrightarrow u = \left( {1;\;2} \right)\).

Phương pháp giải

- Nhận xét tính chất của tam giác \(ABC\).

- Nhận xét tính chất đường phân giác trong của góc \(A\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;\;3} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\), suy ra \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A\).

Do đó đường phân giác trong của góc \(A\) cũng chính là đường trung tuyến của tam giác.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) khi đó \(\overrightarrow {AM} \) là véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc \(A\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{4 + \left( { - 3} \right)}}{2} = \dfrac{1}{2}\\{y_M} = \dfrac{{ - 2 + 5}}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};\;\dfrac{3}{2}} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - \dfrac{1}{2};\; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

Vậy một véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc \(A\) có dạng \(\overrightarrow u  = \left( {1;\;1} \right)\).

Đáp án : C

Chú ý

Cách khác:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;3} \right)\)

Đường thẳng AB đi qua A(1;2) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;3} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow AB:4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(4x + 3y - 10 = 0\)

Đường thẳng AC đi qua A(1;2) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {3;4} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow AC:3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(3x + 4y - 11 = 0\)

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường phân giác góc A

\( \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = d\left( {M,AC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4x + 3y - 10} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| {3x + 4y - 11} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {4x + 3y - 10} \right| = \left| {3x + 4y - 11} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 10 = 3x + 4y - 11\\4x + 3y - 10 =  - \left( {3x + 4y - 11} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\7x + 7y - 21 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\,\left( {{\Delta _1}} \right)\\x + y - 3 = 0\,\left( {{\Delta _2}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét \({\Delta _1}:x - y + 1 = 0\) và hai điểm \(B\left( {4; - 2} \right),C\left( { - 3;5} \right)\) ta thấy:

\(\left( {4 + 2 + 1} \right)\left( { - 3 - 5 + 1} \right) =  - 49 < 0\) nên hai điểm B, C nằm khác phía so với \({\Delta _1}\)

Do đó \({\Delta _1}\) là đường phân giác trong góc A và \({\Delta _2}\) là đường phân giác ngoài góc A.

Vậy \(\overrightarrow {{n_{{\Delta _1}}}}  = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = \left( {1;1} \right)\) là một VTCP của \({\Delta _1}\).