Đề bài

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{{\sqrt b  + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c  + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\) lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

• A. Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.      
• B. Ba số \(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\)  lập thành cấp số cộng.
• C. Ba số \({a^2},{b^2},{c^2}\)  lập thành cấp số cộng
• D. Ba số \(\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c \)  lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của CSC: \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt b  + \sqrt c }} + \dfrac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = \dfrac{2}{{\sqrt c  + \sqrt a }}\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt c  + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) + \left( {\sqrt c  + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt b  + \sqrt c } \right) = 2\left( {\sqrt b  + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {ac}  + \sqrt {bc}  + a + \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + c + \sqrt {ab}  + \sqrt {ac}  = 2\sqrt {ab}  + 2b + 2\sqrt {ac}  + 2\sqrt {bc} \\ \Leftrightarrow a + c = 2b\end{array}\)

Khi đó $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.

Đáp án : A