Đề bài

Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} \) có giá trị bằng

• A. \(\dfrac{{2\ln 2}}{3}\).
• B. \( - \dfrac{{2\ln 2}}{3}\).
• C. \( - 2\ln 2\).
• D. \(2\ln 2\).

Phương pháp giải

Tách \(\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}\) về dạng \(\dfrac{a}{{bx + c}} + \dfrac{m}{{nx + p}}\) rồi sử dụng công thức nguyên hàm hàm phân thức \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{(x - 2)(x + 1)}}dx}  = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {\left[ {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]dx}  = \dfrac{1}{3}\left. {\left[ {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_0^1 =  - \dfrac{{2\ln 2}}{3}\)

Đáp án : B

Chú ý

Học sinh có thể áp dụng công thức \(\int {\dfrac{1}{{(x - a)(x - b)}}dx = \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x - a}}{{x - b}}} \right| + C} \) để giảm một bước tính:

\(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{(x - 2)(x + 1)}}dx}  = \dfrac{1}{3}\left. {\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right|} \right|_0^1 =  - \dfrac{{2\ln 2}}{3}\)

Phương pháp trắc nghiệm

Bước 1: Dùng máy tính như hình bên dưới, thu được giá trị \( - 0.4620981...\)

Bước 2: Loại đáp án dương A và D.

Bước 3: Chia giá trị \( - 0.4620981...\) cho \(\ln 2\), nhận được \( - \dfrac{2}{3}\)

Chọn \( - \dfrac{{2\ln 2}}{3}\).