Đề bài

Đường thẳng nào dưới đây tiếp xúc với đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {{y}^2} = 4\), tại $M$ có hoành độ ${x_M} = 3$?

• A. $x + \sqrt 3 y - 6 = 0$.
• B. $x + \sqrt 3 y + 6 = 0$.
• C. $\sqrt 3 x + y - 6 = 0$.
• D. $\sqrt 3 x + y + 6 = 0$.

Phương pháp giải

- Tìm tung đọ tiếp điểm suy ra tọa độ tiếp điểm.

- Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại điểm vừa tìm được.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Thế ${x_M} = 3$ vào phương trình đường tròn, ta được: ${y^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt 3 \\y =  - \sqrt 3 \end{array} \right.$

$ \Rightarrow {M_1}\left( {3;\sqrt 3 } \right)$, ${M_2}\left( {3; - \sqrt 3 } \right)$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {2;0} \right)$.

• Với $I\left( {2;0} \right)$, ${M_1}\left( {3;\sqrt 3 } \right)$ ta có $\overrightarrow {I{M_1}} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)$.

Đường thẳng qua ${M_1}\left( {3;\sqrt 3 } \right)$ và nhận $\overrightarrow {I{M_1}}  = \left( {1;\sqrt 3 } \right)$ làm véctơ pháp tuyến có phương trình là $\left( {x - 3} \right) + \sqrt 3 \left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + \sqrt 3 y - 6 = 0$.

• Với $I\left( {2;0} \right)$, ${M_2}\left( {3; - \sqrt 3 } \right)$ ta có $\overrightarrow {I{M_2}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)$.

Đường thẳng qua ${M_2}\left( {3; - \sqrt 3 } \right)$ và nhận $\overrightarrow {I{M_2}}  = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)$ làm véctơ pháp tuyến có phương trình là $\left( {x - 3} \right) - \sqrt 3 \left( {y + \sqrt 3 } \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x - \sqrt 3 y - 6 = 0$.

Vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {{y}^2} = 4\) tại $M$ có hoành độ ${x_M} = 3$ là $x + \sqrt 3 y - 6 = 0$ hoặc $x - \sqrt 3 y - 6 = 0$.

Đáp án : A

Chú ý

Các em có thể làm nhanh theo phương pháp trắc nghiệm:

- Tìm tung độ tiếp điểm.

- Kiểm tra điểm đó thuộc đường thẳng nào trong các đáp án đã cho.

- Tính khoảng cách từ tâm đến từng đường thẳng và so sánh với khoảng cách từ tâm đến tiếp điểm.