Đề bài

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 2017;2018} \right]$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

• A. $2015.$
• B. $2016.$
• C. $2018.$
• D. $4035.$

Phương pháp giải

Hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $y' = {x^2} - 2mx + m + 2$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m - 2 > 0\\S = {x_1} + {x_2} > 0\\P = {x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) > 0\\2m > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$

Mà $m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 2017;2018} \right] \Rightarrow m = \left\{ {3;4;5;...2018} \right\}$

Vậy có $2016$ giá trị.

Đáp án : B