Đề bài

Cho hàm số $y = 3{x^4} + 2\left( {m - 2018} \right){x^2} + 2017$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng ${120^0}$.

• A. $m =  - 2018.$               
• B. $m =  - 2017.$
• C. $m = 2017.$
• D. $m = 2018.$

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ tạo thành tam giác có góc cân ở đỉnh bằng $\alpha$ cho trước

$\Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha$

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 Ta có $y' = 12{x^3} + 4\left( {m - 2018} \right)x;{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3{x^2} = 2018 - m\end{array} \right..$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow 2018 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2018$.

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$A\left( {0;2017} \right),B\left( {\sqrt {\dfrac{{2018 - m}}{3}} ; - \dfrac{{{{\left( {m - 2018} \right)}^2}}}{3} + 2017} \right),C\left( { - \sqrt {\dfrac{{2018 - m}}{3}} ; - \dfrac{{{{\left( {m - 2018} \right)}^2}}}{3} + 2017} \right)$

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên ycbt $\Leftrightarrow 3A{B^2} = B{C^2}$

$\Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{{2018 - m}}{3} + \dfrac{{{{\left( {m - 2018} \right)}^4}}}{9}} \right] = 4\dfrac{{2018 - m}}{3}$$\Leftrightarrow {\left( {m - 2018} \right)^3} =  - 1 \Leftrightarrow m = 2017$ (thỏa mãn)

Đáp án : C