Đề bài

Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$  học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:

• A. \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
• B. \(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
• C. \(T = n{2^{n - 1}}\)
• D. \(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)

Phương pháp giải

Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm mà chưa biết nhóm này có bao nhiêu học sinh nên sẽ có các phương án:

PA 1: Nhóm có $2$  học sinh

PA 2: Nhóm có $3$ học sinh.

PA 3: Nhóm có $4$ học sinh.

….

PA (n-2): Nhóm có $n-1$ học sinh.

Tính số cách thực hiện của mỗi phương án sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \({A_k}\) là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.

Thầy chủ nhiệm có các phương án: \({A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}\)

Ta tính xem \({A_k}\) có bao nhiêu cách thực hiện.

Phương án \({A_k}\) có hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có \(C_n^k\) cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có \(C_k^1 = k\) cách.

Theo quy tắc nhân thì phương án \({A_k}\) có \(kC_n^k\) cách thực hiện.

Các phương án \({A_k}\) là độc lập với nhau.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)

Đáp án : A

Chú ý

Bài toán này cần áp dụng cả quy tắc nhân và quy tắc cộng nên các em phải phân biệt thật rõ hai quy tắc này.