Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}\).

• A. \(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 4\)
• B. \(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 3\)
• C. \(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 2\)
• D. \(\min y = \dfrac{1}{2};\max y = 2\)

Phương pháp giải

+) Sử dụng đánh giá \( - 1 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\) để đánh giá vế phải của \(y\).

+) Với hai vế bất đẳng thức đều dương: Ta lấy nghịch đảo hai vế thì bất đẳng thức đổi chiều từ $\ge$ sang $\le$ và chuyển từ $\le$ sang $\ge$.

+) Khi nhân số dương với 2 vế của bất đẳng thức thì bất đẳng thức không đổi chiều.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+) Tìm GTLN

${\sin ^2}x \ge 0 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \ge 0$

$\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \ge 1$.

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

$\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le \dfrac{1}{1}=1 $.

Nhân 2 vế với 4 ta được:

$ \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le 4.1 = 4\Rightarrow y \le 4$.

Dấu “=” xảy ra khi \({\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow\sin x = 0\).

+) Tìm GTNN

${\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \le 2$

$\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \le 1 + 2 = 3$.

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

$\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{1}{3}$.

Nhân 2 vế với 4 ta được:

$ \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{4}{3} \Rightarrow y \ge \dfrac{4}{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi \({\sin ^2}x= 1\Leftrightarrow\sin x =  \pm 1\).

Vậy GTLN là 4, GTNN là \(\dfrac{4}{3}\).

Đáp án : A