Đề bài

Cho các số thực dương \(x\), \(y\), \(z\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xy + 2yz + zx}}\) là

• A. \(\sqrt 2  - 1\).
• B. \(\sqrt 3  - 1\).
• C. \(\dfrac{3}{4}\).
• D. \(\dfrac{1}{2}\).

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi cho \(y = z\) suy ra biểu thức \(P\) mới.

- Biến đổi \(P\) về ẩn \(\dfrac{x}{y}\) và tìm \(\min P\) bằng cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(2yz \le {y^2} + {z^2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(y = z\).

Suy ra \(P \ge \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xy + xz + {y^2} + {z^2}}} = Q\)

Khi \(y = z\), ta có \(Q = \dfrac{{{x^2} + 2{y^2}}}{{2xy + 2{y^2}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 2}}\).

\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} - 2P\left( {\dfrac{x}{y}} \right) + 2 - 2P = 0\) \(\left( * \right)\) (do \(P > 0\))

Để tồn tại \(\dfrac{x}{y}\) thì \(\Delta ' = {P^2} + 2P - 2 \ge 0 \Rightarrow P \ge \sqrt 3  - 1\).

Vậy \({P_{\min }} = \sqrt 3  - 1\) khi \(\dfrac{x}{y} = \sqrt 3  - 1\) và \(y = z\).

Đáp án : B

Chú ý

Cách khác:

\(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xy + 2yz + zx}} \ge \dfrac{{{x^2} + \dfrac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{2}}}{{x\left( {y + z} \right) + \dfrac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{2}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{{y + z}}} \right)}^2} + \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{2{t^2} + 1}}{{2t + 1}}\), với \(t = \dfrac{x}{{y + z}} > 0\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{2{t^2} + 1}}{{2t + 1}}\), với \(t > 0\)

Giả sử tồn tại \(\min f\left( t \right) = k > 0\), suy ra \(k = \dfrac{{2{t^2} + 1}}{{2t + 1}} \Leftrightarrow 2{t^2} - 2kt + 1 - k = 0\) \(\left( * \right)\)

Để tồn tại min, tức là tồn tại \(t\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)\( \Leftrightarrow {k^2} - 2\left( {1 - k} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {k^2} + 2k - 2 \ge 0 \Leftrightarrow k \ge \sqrt 3  - 1\)  (do \(k > 0\))

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( t \right)\) là \(k = \sqrt 3  - 1\), suy ra \({P_{\min }} = \sqrt 3  - 1\).