Đề bài

Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \(\sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}  + 2\sqrt { - {x^2} + 4}  - 2m + 3 = 0\) có nghiệm.

• A. $1$.
• B. $3$.    
• C. $0$.
• D. $2$.

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x} \), tìm diều kiện của \(t\)

- Đưa phương trình về bậc hai ẩn \(t\) rồi tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện vừa tìm được.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \(t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x} \)

Điều kiện \(t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}  \ge \sqrt {x + 2 + 2 - x}  = 2 \Rightarrow t \ge 2\)

Lại có \(\sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}  \le \sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {x + 2 + 2 - x}  = 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow t \le 2\sqrt 2 \)

Suy ra \(2 \le t \le 2\sqrt 2 \)

Ta có: \({t^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {x^2}} \)\( \Rightarrow 2\sqrt {4 - {x^2}}  = {t^2} - 4\)

Phương trình trở thành: \(t + {t^2} - 4 - 2m + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {t^2} + t - 2m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 2m\,\,\,(*)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 1\) (parabol có hoành độ đỉnh \(x =  - \dfrac{1}{2} \notin \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)) trên \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\), có bảng biến thiên

Phương trình $(*)$ có nghiệm thỏa \(2 \le t \le 2\sqrt 2 \) khi \(5 \le 2m \le 7 + 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow \dfrac{5}{2} \le m \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 2 }}{2}\)

\(\dfrac{5}{2} \le m \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 2 }}{2}\,\)\( \to \left( {2,5 \le m \le 4,91} \right)\)

Vậy có 2 giá trị \(m\) nguyên dương là \(m = 3\), \(m = 4\).

Đáp án : D