Đề bài

Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình $\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 = 0$ có nghiệm là

• A. \(m \in \left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty } \right)\).
• B. \(m \in \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{4}} \right] \cup \left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty } \right)\).
• C. \(m \in \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{4}} \right]\).
• D. $m \in \left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{3}{4}} \right)$.

Phương pháp giải

- Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = t\), tìm điều kiện của \(t\)

- Đưa phương trình đã cho về bậc hai ẩn \(t\) và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện vừa tìm được ở trên.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có $\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 = 0$\( \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) - 1 = 0\) (1)

Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = t\), \(\left| t \right| \ge 2\) ta được \({t^2} - 2mt - 1 = 0\) (2).

Phương trình (2) luôn có hai nghiệm \({t_1} < 0 < {t_2}\) (do \(a.c =  - 1 < 0\) )\( \Rightarrow \) phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có ít nhất một nghiệm \(t\) sao cho \(\left| t \right| \ge 2\), hay ít nhất một trong hai số \(2;\,\, - 2\) phải nằm giữa hai nghiệm \({t_1},\,\,{t_2};\) hay \(\left[ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) \le 0\\f\left( { - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - 4m \le 0\\3 + 4m \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{3}{4}\\m \le  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\).

Đáp án : B