Đề bài

Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng \(2\) là

• A. \(m \in \left( {0;\,2} \right)\).
• B. \(m =  \pm \sqrt 2 \).
• C. \(m \in \left( { - 2;\,0} \right)\).
• D. \(m \in \emptyset \).

Phương pháp giải

Đưa điều kiện hình học bài cho về điều kiện đại số và áp dụng định lý Vi – et cho phương trình bậc hai thay vào điều kiện đó tìm \(m\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình \({x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác với cạnh huyền có độ bài bằng \(2\) khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {m^2} - 4{m^2} + 12 \ge 0\\S = {x_1} + {x_2} = m > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\\x_1^2 + x_2^2 = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < {m^2} \le 4\\m > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  < m \le 2\\{m^2} - 2\left( {{m^2} - 3} \right) = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  < m \le 2\\{m^2} = 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \in \emptyset \)

Đáp án : D

Chú ý

Một số em có thể sẽ quên mất điều kiện để phương trình có hai nghiệm dường phân biệt nên khi tìm ra $m=\pm \sqrt 2$ chọn ngay đáp án B là sai.