Đề bài

Cho phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).

• A. \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}} \right]\).
• B. \(m \in \left( { - \infty \,;\, - 1} \right] \cup \left[ {1\,;\, + \infty } \right)\).
• C. \(m \in \left( { - 1\,;\,1} \right)\).
• D. \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,1} \right)\).

Phương pháp giải

- Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích.

- Biện luận số nghiệm của phương trình và kết luận (sử dụng đường tròn đơn vị)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) - m\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left[ {\cos 4x - m\cos x - m\left( {1 - \cos x} \right)} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\\cos 4x = m\end{array} \right.\).

Xét phương trình \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình \(\cos x =  - 1\) không có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).

Xét $\cos 4x = m$. Ta có \(x \in \left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right] \Leftrightarrow 4x \in \left[ {0;\,\dfrac{{8\pi }}{3}} \right]\).

Quan sát hình vẽ ta thấy,

Với \(4x \in \left[ {0\,;\,2\pi } \right]\backslash \left\{ \pi  \right\}\) và $m \in \left( { - 1\,;\,1} \right]$ phương trình $\cos 4x = m$ có $2$ nghiệm.

Với \(4x \in \left( {2\pi \,;\,\dfrac{{8\pi }}{3}} \right]\) và $m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,1} \right)$ phương trình $\cos 4x = m$ có $1$ nghiệm.

Vậy phương trình có $3$ nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\) khi $m \in \left[ { - \dfrac{1}{2}\,;\,1} \right)$.

Đáp án : D

Chú ý

Ta có thể xét số nghiệm của phương trình \(\cos 4x = m\) trong khoảng \(\left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\) bằng phương pháp hàm số của lớp 12 như sau:

+) Xét phương trình \(\cos 4x = m\). Đặt \(f\left( x \right) = \cos 4x\).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 4\sin 4x\).

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = k\pi  \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi }{4}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét trong đoạn \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\) thì ta có: \(x \in \left\{ {0\,;\,\dfrac{\pi }{4}\,;\,\dfrac{\pi }{2}} \right\}\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình \(\cos 4x = m\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt trong đoạn \(\left[ {0\,;\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{1}{2} \le m < 1\).