Đề bài

Giải phương trình: \(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\)  ta được các nghiệm là \({x_1};{x_2}\)  với \({x_1} < {x_2}\) . Tính \(3{x_1} - {x_2}.\)

• A. \(\dfrac{{25}}{3}\)                                
• B. \( - 1\)                         
• C. \( - \dfrac{7}{3}\)                              
• D. \(1\)

Phương pháp giải

+ Tìm ĐKXĐ

+ Nhận thấy \(x =  - 2\) không là nghiệm nên ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\) , khi đó xuất hiện các hạng tử giống nhau, đặt ẩn phụ, tìm đk của ẩn phụ rồi giải phương trình nhận được.

+ Thay giá trị của ẩn phụ vào cách đặt ta tìm được ẩn ban đầu.

+ Đối chiếu đk rồi kết luận nghiệm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\) .

Ta có:

\(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\)

\(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} + 48.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} = 0\)

Với \(x =  - 2\) ta có phương trình \(20.{\left( {\dfrac{{ - 4}}{{ - 1}}} \right)^2} = 0\) vô lý \(x =  - 2\) không là nghiệm của phương trình.

Lại có với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 2\) thì \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\), ta được:

\(20{\left[ {\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} + 48\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5 = 0\)

Đặt \(t = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) , ta có

\(20{t^2} + 48t - 5 = 0 \\20{t^2} + 50t - 2t - 5 = 0\\10t\left( {2t + 5} \right) - \left( {2t + 5} \right) = 0 \\\left( {2t + 5} \right)\left( {10t - 1} \right) = 0\)

\(+)\,2t + 5 = 0\\t =  - \dfrac{5}{2}\)

\(+)\,10t - 1 = 0\\t = \dfrac{1}{{10}}\)

Với \(t =  - \dfrac{5}{2}\) ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \dfrac{5}{2}\\2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) =  - 5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\2{x^2} - 6x + 4 =  - 5{x^2} - 15x - 10\\7{x^2} + 9x + 14 = 0\\7\left( {{x^2} + 2.\dfrac{9}{{14}}x + \dfrac{{81}}{{196}}} \right) - \dfrac{{81}}{{28}} + 14 = 0\\7{\left( {x + \dfrac{9}{{14}}} \right)^2} + \dfrac{{311}}{{28}} = 0\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array}$

Với \(t = \dfrac{1}{{10}}\) ta có:

\(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{10}}\\10\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\\9{x^2} - 33x + 18 = 0\\3{x^2} - 11x + 6 = 0\\\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(+)\,3x - 2 = 0\\x = \dfrac{2}{3}(TM)\)

\(+)\,x - 3 = 0\\x = 3(TM)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {3;\,\,\dfrac{2}{3}} \right\}\)

Từ giả thiết suy ra

\({x_1} = \dfrac{2}{3};{x_2} = 3 \\3{x_1} - {x_2} =  - 1.\)

Đáp án : B