Đề bài

Qua điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$ kẻ hai cát tuyến $ABC$ và $ADE$ với đường tròn đó ($B$ nằm giữa $A$ và $C,$$D$ nằm giữa $A$ và $E$). Kẻ dây $BF//DE.$ Khi đó kết luận đúng là:

• A. $AC.AE = DC.DF$
• B. $AC.DF = DC.AE$
• C. $AE.CE = DF.CF$
• D. $AC.CE = DC.CF$

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất góc nội tiếp chắn một cung, góc đỉnh nằm ngoài đường tròn, cung bị chắn giữa hai dây song song, tam giác đồng dạng để chứng minh $\Delta ACE \backsim \Delta DCF \Rightarrow AC.DF = AE.DC$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có $\widehat {BCD}$ là góc nội tiếp chắn cung $BmD\,\,\left( 1 \right).$

Ta có $\widehat {FCE}$ là góc nội tiếp chắn cung $FnE\,\,\left( 2 \right).$

Mặt khác ta có $sđ\overparen{BmD}\, = sđ\overparen{FnE}\,\,\left( 3 \right).$ (hai cung bị chắn bởi hai dây song song)

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat {FCE} = \widehat {BCD} \Rightarrow \widehat {FCE} + \widehat {ECD} = \widehat {BCD} + \widehat {ECD}.$

Do đó $\widehat {FCD} = \widehat {ECB}\,\left( 4 \right).$

Theo tính chất về góc có đỉnh bên ngoài đường tròn ta có

$\widehat {CAE} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{CFE} - sđ\overparen{BmD}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\,\overparen{CFE} - sđ\overparen{FnE}} \right) = \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{CF}\,\,\left( 5 \right).$

Theo tính chất của góc nội tiếp bị chắn bởi cung ta có $\widehat {CDF} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{CF}\,\,\left( 6 \right).$

Từ $\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ ta nhận được $\widehat {CAE} = \widehat {CDF}\,\,\left( 7 \right).$

Từ $\left( 4 \right)$ và $\left( 7 \right)$ ta nhận được $\Delta ACE \backsim \Delta DCF$ (g-g)

Do đó $\dfrac{{AC}}{{DC}} = \dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{CE}}{{CF}} \Rightarrow AC.DF = AE.DC.$

Đáp án : B