Đề bài

Cho hàm số \(y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m\). Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua với mọi \(m\).

• A. \(N\left( {1;2} \right)\)           
• B. \(N\left( {2; - 2} \right)\)
• C. \(N\left( {1; - 2} \right)\)
• D. \(N\left( {3; - 2} \right)\)

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình hàm số đã cho về ẩn \(m,\) tham số \(x,y\) rồi cho các hệ số đó bằng \(0\) để tìm \(x;y\).

Điểm có tọa độ \(\left( {x;y} \right)\) tìm được ở trên chính là điểm cần tìm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Để \(N\left( {x;y} \right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua, điều kiện cần và đủ là \(y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m,\,\,\forall m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{m^2}\left( {1 - {x^2}} \right) + m\left( {{x^3} - 1} \right) - 2{x^2} - y = 0,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = 0\\{x^3} - 1\\2{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(N\left( {1; - 2} \right)\).

Đáp án : C

Chú ý

Nếu đa thức \({a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0\) với mọi \(x \in K\) khi và chỉ khi \({a_n} = {a_{n - 1}} = ... = {a_0}\)