Đề bài

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _3}x \le {\log _{\frac{1}{3}}}(2x)$ là nửa khoảng $(a;b{\rm{]}}$. Giá trị của ${a^2} + {b^2}$ bằng

• A. $1$
• B. $4$
• C. $\dfrac{1}{2}$
• D. $8$

Phương pháp giải

Giải bất phương trình logarit để xác định khoảng nghiệm của bất phương trình.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện: \(x > 0\).

${\log _3}x \le {\log _{\frac{1}{3}}}(2x) \Leftrightarrow {\log _3}x \le  - {\log _3}(2x)$

$ \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _3}(2x) \le 0$

$ \Leftrightarrow {\log _3}(2{x^2}) \le 0$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} \le 1$

$ \Leftrightarrow  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Kết hợp với \(x > 0\) ta được \(0 < x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : C