Đề bài

Cho a, b, x là các số thực dương khác 1 thỏa: \(4\log _a^2x + 3\log _b^2x = 8{\log _a}x.{\log _b}x\quad (1)\). Mệnh đề (1) tương đương với mệnh đề nào sau đây:

• A. \(a = {b^2}\)
• B. $a = {b^2}$ hoặc ${a^3} = {b^2}$            
• C. \({a^3} = {b^2}\)         
• D. $x{\rm{ }} = {\rm{ }}ab$

Phương pháp giải

• Coi biểu thức là hàm bậc hai đối với ẩn \({\log _a}x\) và tham số \({\log _b}x\)
• Giải phương trình bậc hai để tìm mối liên hệ giữa \({\log _a}x\) và \({\log _b}x\)
• Suy ra mối liên hệ giữa \(a\) và \(b\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(4\log _a^2x - 8{\log _b}x.{\log _a}x + 3\log _b^2x = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {(4{\log _b}x)^2} - 3.4.{\log _b}x = 4\log _b^2x > 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}x = \dfrac{3}{2}{\log _b}x\\{\log _a}x = \dfrac{1}{2}{\log _b}x\end{array} \right.\).

Suy ra

\({\log _a}x = \dfrac{3}{2}{\log _b}x \Rightarrow {\log _a}x = {\log _{\sqrt[3]{{{b^2}}}}}x \Rightarrow a = \sqrt[3]{{{b^2}}} \Rightarrow {a^3} = {b^2}\)

\({\log _a}x = \dfrac{1}{2}{\log _b}x \Rightarrow {\log _a}x = {\log _{{b^2}}}x \Rightarrow a = {b^2}\)

 

Đáp án : B