Cho tam giác \(DEF\) vuông tại \(D\), đường cao \(DH\) và \(DE=6\) cm, \(DF=9\) cm
a) Chứng minh: Tam giác \(DEF\) và tam giác \(HED\) đồng dạng
b) Tính \(EF, DH\). Chứng minh \(DF^2=FH.EF\)
c) Qua \(D\) kẻ đường thẳng \(a\) từ \(E\) dựng \(EP\) và từ \(F\) dựng \(FQ\) vuông góc với \(a\) \((P,Q ∈ a)\). Chứng minh: \({S_{PED}} = \frac{4}{9}{S_{QDF}}\).
a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc-góc (g.g)
b)
+ Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác DEF vuông tại D tính độ dài cạnh EF và
+ Dựa vào công tính diện tích tam giác DEF để tính để dài cạnh DH.
+ Chứng minh \(\Delta FDH\backsim\Delta FED\), từ đó suy ra \(F{D^2} = FE \cdot FH\)
c) Chứng minh \(\Delta QDF\backsim\Delta PED\)
Suy ra \(\frac{{QD}}{{PE}} = \frac{{QF}}{{PD}} = \frac{{DF}}{{DE}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)
Sau đó tính \(\frac{{{S_{QDF}}}}{{{S_{PDE}}}}\)
a) Xét \(\Delta DEF\) và \(\Delta HED\) có:
\(\widehat {FDE} = \widehat {DHE} = {90^\circ }\)
\(\widehat {DEF}\) chung
Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta HED\) (g.g)
b) Xét \(\Delta DEF\) vuông tại \(D\) ta có:
\(EF = \sqrt {D{E^2} + D{F^2}} = \sqrt {{6^2} + {9^2}} = 3\sqrt {13} \) (cm) (Định lý Py-ta-go)
Ta có: \({S_{\Delta DEF}} = \frac{1}{2}DE.DF\)
Mặt khác: \({S_{\Delta DEF}} = \frac{1}{2}DH.EF\)
Suy ra \(DE.DF = DH.EF\)
Hay \(DH = \frac{{DE \cdot DF}}{{EF}} = \frac{{6 \cdot 9}}{{3\sqrt {13} }} = \frac{{18\sqrt {13} }}{{13}}{\rm{ (cm)}}\)
Xét \(\Delta FDH\) và \(\Delta FED\) có:
\(\widehat {FHD} = \widehat {FDE} = {90^\circ }\)
\(\widehat {DFE}\) chung
Do đó, \(\Delta FDH\backsim\Delta FED\) (g.g)
Suy ra \(\frac{{FD}}{{FE}} = \frac{{FH}}{{FD}}\) (hai cạnh tương ứng)
Suy ra \(F{D^2} = FE \cdot FH\)
c) Xét \(\Delta QDF\) và \(\Delta PED\) có:
\(\widehat {FQD} = \widehat {DPE} = {90^\circ }\)
\(\widehat {QFD} = \widehat {PDE}\) (cùng phụ với \(\widehat {QDF}\))
Do đó, \(\Delta QDF\backsim\Delta PED\) (g.g)
Suy ra \(\frac{{QD}}{{PE}} = \frac{{QF}}{{PD}} = \frac{{DF}}{{DE}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)
Ta có: \(\frac{{{S_{QDF}}}}{{{S_{PDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}QD \cdot QF}}{{\frac{1}{2}PE \cdot PD}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}\)
Suy ra \({S_{PED}} = \frac{4}{9}{S_{QDF}}\).
Công thức về tỉ số đồng dạng của hai tam giác đồng dạng
Ta có khi đó tỉ số các cạnh tương ứng \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = k\) gọi là tỉ số đồng dạng.
+ Tỉ số chu vi \(\frac{{{P_{A'B'C'}}}}{{{P_{ABC}}}} = k\).
+ Tỉ số đường cao \(\frac{{A'H'}}{{AH}}\) với \(A'H'\) và \(AH\) lần lượt là đường cao của các tam giác \(A'B'C'\) và \(ABC\).
+ Tỉ số diện tích \(\frac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = {k^2}\).
Danh sách bình luận