Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ∆AEB đồng dạng với ∆AFC. Từ đó suy ra AF . AB = AE . AC.

b) Chứng minh: $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$.

c) Cho AE = 3 cm, AB = 6 cm. Chứng minh rằng S_ABC = 4S_AEF.

Phương pháp giải

a) Tìm hai góc vuông dựa vào định nghĩa đường cao và chỉ ra góc chung của hai tam giác. Từ đó chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc-góc.

Viết tỉ số đồng dạng giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác, sau đó áp dụng tính chất nhân chéo để rút ra đẳng thức cần chứng minh.

b) Sử dụng đẳng thức đã chứng minh được ở ý a để chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc - cạnh

c) Áp dụng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) có:

\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = 90^\circ \)

\(\widehat {EAF}\) chung

Suy ra \(\Delta AEB \backsim \Delta AFC\) (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\) (Hai cạnh tương ứng)

Hay \(AF.AB = AE.AC\) (đpcm)

b) Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat {EAF}\) chung

\(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) (do \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\))

Suy ra \(\Delta AEF \backsim \Delta ABC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (Hai góc tương ứng)

c) Ta có \(\Delta AEF \backsim \Delta ABC\) (chứng minh b)

Suy ra \(\frac{{S{}_{\Delta AEF}}}{{S{}_{\Delta ABC}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AB}}} \right)^2}\)

Mà \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Do đó: \(\frac{{S{}_{\Delta AEF}}}{{S{}_{\Delta ABC}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = 4{S_{\Delta AEF}}\)

Mở rộng

Xét hai tam giác đồng dạng có diện tích là S và S’.

Khi đó, tỉ số diện tích giữa hai tam giác đúng bằng bình phương tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó:

\(\frac{{S'}}{S} = {\left( {\frac{{a'}}{a}} \right)^2} = {k^2}\) (\(k = \frac{{a'}}{a}\): tỉ số đồng dạng của hai tam giác)