Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; AB = a; AC = 2a. Đỉnh S cách đều A, B, C; mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc $60^o$. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
A.
$V = \frac{1}{3} a^3$.
-
B.
$V = \sqrt{3} a^3$.
-
C.
$V = \frac{\sqrt{3}}{3} a^3$.
-
D.
$V = a^3$.
Tìm chân đường vuông góc của S lên (ABC) (sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông), từ đó áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.
Gọi H là trung điểm BC, vì tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do S cách đều A, B, C $\Rightarrow SH \bot (ABC)$.
Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó HM là đường trung bình của tam giác ABC, đồng thời là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABC).
Như vậy, góc giữa (SAB) và (ABC) là góc $\widehat{SMH} = 60^o$.
Ta có $HM = \frac{1}{2} AC = a$; $SH = HM . \tan 60^o = a\sqrt{3}$.
Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3} SH . \frac{1}{2} AB . AC = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án : C
Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
+ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
+ Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ:
+ Nếu tam giác ABC vuông tại \(A\) và \(M\) là trung điểm cạnh BC thì \(AM = BM = CM = \frac{{BC}}{2}\).
+ Nếu tam giác ABC có \(M\) là trung điểm BC và \(AM = \frac{{BC}}{2}\) thì \(\Delta ABC\) vuông tại A.
Danh sách bình luận