Các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình : ${12^x} + \left( {4 - m} \right){.3^x} - m = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ là:
-
A.
\(m \in (\dfrac{{17}}{{16}};\dfrac{5}{2})\)
-
B.
\(m \in {\rm{[}}2;4]\)
-
C.
\(m \in (\dfrac{5}{2};6)\)
-
D.
\(m \in (1;\dfrac{5}{2})\)
+ Thay lần lượt giá trị của \(m\) và và kiểm tra xem phương trình có nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right)\) hay không.
+ Tính các giá trị \(f\left( 0 \right),f\left( { - 1} \right)\) rồi kiểm tra \(f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) < 0\) thì ta kết luận phương trình có nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right)\).
- Từ các đáp án đã cho, ta thấy giá trị $m=2$ không thuộc đáp án C nên ta thử $m=2$ có thỏa mãn bài toán hay không sẽ loại được đáp án.
Thử với $m=2$ ta được phương trình : \({12^x} + {2.3^x} - 2 = 0;\) \( f( - 1) = \dfrac{{ - 5}}{4};\) \(f(0) = 1\) \( \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0\)
Do đó, phương trình có nghiệm trong khoảng $(-1;0)$, mà đáp án C không chứa $m=2$ nên loại C.
- Lại có giá trị $m=3$ thuộc đáp án C nhưng không thuộc hai đáp án A và D nên nếu kiểm tra $m=3$ ta có thể loại tiếp được đáp án.
Thử với $m=3$ ta được phương trình : \({12^x} + {3^x} - 3 = 0;\) \(f( - 1) = \dfrac{{ - 31}}{{12}};\) \(f(0) = - 1\) \( \Rightarrow f(0).f( - 1) > 0\)
Mà hàm số này đồng biến khi $m=3$ nên $f(x)<0,\forall x\in (-1;0)$, suy ra phương trình $f(x)=0$ sẽ không có nghiệm trong $(-1;0)$, loại B.
- Cuối cùng, ta thấy giá trị $m=1$ thuộc đáp án A và không thuộc đáp án D nên ta sẽ thử $m=1$ để loại đáp án.
Thử với $m=1$ ta được phương trình : \({12^x} + {3.3^x} - 1 = 0;\) \(f( - 1) = \dfrac{{ - 11}}{{12}};\,f(0) = 3\) \( \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0\)
Do đó phương trình $f(x)=0$ sẽ có nghiệm trong $(-1;0)$ nên loại D và chọn A.
Đáp án : A
Cách tự luận:
Ta có
\(\begin{array}{l}{12^x} + \left( {4 - m} \right){3^x} - m = 0\\ \Leftrightarrow {12^x} + {4.3^x} - m{.3^x} - m = 0\\ \Leftrightarrow {12^x} + {4.3^x} - m\left( {{3^x} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {12^x} + {4.3^x} = m\left( {{3^x} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow m = \frac{{{{12}^x} + {{4.3}^x}}}{{{3^x} + 1}}\end{array}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{{{12}^x} + {{4.3}^x}}}{{{3^x} + 1}}\) trên \(\left( { - 1;0} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right)\\ = \frac{{\left( {{{12}^x} + {{4.3}^x}} \right)'.\left( {{3^x} + 1} \right) - \left( {{{12}^x} + {{4.3}^x}} \right).\left( {{3^x} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{3^x} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {{{12}^x}\ln 12 + {{4.3}^x}\ln 3} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) - \left( {{{12}^x} + {{4.3}^x}} \right)\left( {{3^x}\ln 3} \right)}}{{{{\left( {{3^x} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{12}^x}\ln {{12.3}^x} + {{4.3}^x}\ln {{3.3}^x} + {{12}^x}\ln 12 + {{4.3}^x}\ln 3 - {{12}^x}{{.3}^x}\ln 3 - {{4.3}^x}{{.3}^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{36}^x}\ln 12 + {{4.9}^x}\ln 3 + {{12}^x}\ln 12 + {{4.3}^x}\ln 3 - {{36}^x}\ln 3 - {{4.9}^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{36}^x}\ln 12 - {{36}^x}\ln 3 + {{12}^x}\ln 12 + {{4.3}^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{36}^x}\ln 4 + {{12}^x}\ln 12 + {{4.3}^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\end{array}\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) < f\left( x \right) < f\left( 0 \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{17}}{{16}} < f\left( x \right) < \frac{5}{2}\end{array}\)
Để pt đã cho có nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right)\) thì \(\frac{{17}}{{16}} < m < \frac{5}{2}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
