Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m. Giao của tường cong và mặt đất là đoạn AB = 2 m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC = 4 m, CE = 3 m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1 m. Tính thể tích bê tông (đơn vị mét khối) cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp, áp dụng tích phân tính thể tích vật thể.
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho: Gốc tọa độ O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AC, tia Oy cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{CE}$, tia Oz trùng với tia AB.
Gọi N là điểm trên cạnh cong AE và cách mặt đất 1 m.
Xét mặt phẳng Oxy: Với cách chọn hệ tọa độ như trên, ta có A(0; 0), N(2; 1) và E(4; 3).
Gọi phương trình của cạnh cong AE (là parabol) có dạng $y = ax^2 + bx + c$.
Vì parabol đi qua ba điểm A, N và E nên ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} c = 0 \\ 4a + 2b + c = 1 \\ 16a + 4b + c = 3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{8} \\ b = \frac{1}{4} \\ c = 0 \end{cases}$.
Suy ra phương trình của parabol là $y = \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{4}x$.
Vì khi cắt tường cong bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0 \leq x \leq 4$) thì ta được thiết diện là hình chữ nhật có diện tích bằng $S(x) = 2\left(\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{4}x\right) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x$ nên thể tích của tường cong là:
$V = \int_{0}^{4} \left(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x\right) dx = \frac{28}{3} \approx 9,3 $ $(m^3)$.
Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức
\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Danh sách bình luận