Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh $A_{1}A_{2}\ldots A_{12}$ (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn trên vào 12 đỉnh $A_{1},A_{2},\ldots,A_{12}$ sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn. Gọi P là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của 3190P bằng bao nhiêu?
Sử dụng phương pháp tổ hợp.
Một đa giác đều 12 đỉnh sẽ có đúng 3 hình vuông được tạo từ các đỉnh của nó. Chia 12 đỉnh thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 đỉnh tạo thành một hình vuông độc lập:
- Hình vuông $H_{1}$: $\left\{ A_{1},A_{4},A_{7},A_{10} \right\}$.
- Hình vuông $H_{2}$: $\left\{ A_{2},A_{5},A_{8},A_{11} \right\}$.
- Hình vuông $H_{3}$: $\left\{ A_{3},A_{6},A_{9},A_{12} \right\}$.
Xét các trường hợp có thể xảy ra:
- Trường hợp 1: $H_{1}$ có 2 bóng đỏ, $H_{2}$ có 1 bóng đỏ, $H_{3}$ có 1 bóng đỏ.
- Trường hợp 2: $H_{1}$ có 1 bóng đỏ, $H_{2}$ có 2 bóng đỏ, $H_{3}$ có 1 bóng đỏ.
- Trường hợp 3: $H_{1}$ có 1 bóng đỏ, $H_{2}$ có 1 bóng đỏ, $H_{3}$ có 2 bóng đỏ.
Do tính chất đối xứng, số cách chọn vị trí và xếp bóng cho cả 3 trường hợp là như nhau.
Bước 1: Chọn bộ hình vuông nhận số lượng bóng đỏ: Có 3 cách chọn hình vuông chứa 2 bóng đỏ ($H_{1}$, $H_{2}$, hoặc $H_{3}$).
Bước 2: Chọn vị trí (đỉnh) để xếp bóng đỏ:
- Trong hình vuông có 2 bóng đỏ: Chọn 2 đỉnh trong 4 đỉnh: $C_{4}^{2} = 6$ cách.
- Trong hình vuông thứ hai có 1 bóng đỏ: Chọn 1 đỉnh trong 4 đỉnh: $C_{4}^{1} = 4$ cách.
- Trong hình vuông thứ ba có 1 bóng đỏ: Chọn 1 đỉnh trong 4 đỉnh: $C_{4}^{1} = 4$ cách.
Bước 3: Xếp các bóng đèn vào các vị trí đã định:
- Xếp 4 bóng đỏ phân biệt vào 4 vị trí đỏ đã chọn: 4! cách.
- Xếp 8 bóng xanh phân biệt vào 8 vị trí còn lại: 8! cách.
Xác suất của biến cố đang xét là: $\left. P = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{288.4!8!}{12!} = \dfrac{32}{55}\Rightarrow 3190P = 1856 \right.$.
Danh sách bình luận